logとcosの極限

問題

$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\log ^{x}\left( 4+x\right) -\log 4^{x}}{1-\cos x}$ を求めよ。

logと三角関数が混ざっているので、それぞれ処理が必要です

$=\lim _{x\rightarrow 0}\log \dfrac {\left( 4+x\right) ^{x}}{4^{x}}\times \dfrac {1+\cos x}{\left( 1-\cos x\right) \left( 1+\cos x\right) }$
$=\lim _{x\rightarrow 0}x\log \left( 1+\dfrac {x}{4}\right) \times \dfrac {1+\cos x}{\sin^{2} x}$

cosをsinに変形するんだね
x→０のときcosx→１
x/sinx→１になるのがポイント

$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}\log \left( 1+\dfrac {x}{4}\right) \times \dfrac {2x^{2}}{\sin ^{2}x}$
$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{x}\log \left( 1+\dfrac {x}{4}\right)$

三角関数はなくなったけど
まだlogが残っている

そういうときはネイピア数の定義を思い出して！

ネイピア数の定義　　 $\lim _{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{\dfrac {1}{x}}=e$

$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{2}\times \log ^{\dfrac {4}{x}}\left( 1+\dfrac {x}{4}\right)$
$=\dfrac {1}{2}$

ネイピア数の定義を覚えて
おかないと解けないんだね

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