2次方程式の解を使った問題

「解と係数の関係」から、α＋β＝－１、αβ＝１を使って導くという手もあります。 が！

ここでは一瞬で出来る必殺技を伝授。

数学の出題者はこういう仕掛けが大好きなんです。ぜひ皆さんも使ってみてください。

＜普通の考え方＞

解と係数の関係から、α＋β＝－１、αβ＝１であることがわかります。それを利用して

$$\alpha ^{3}+\beta ^{3}=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}-\alpha \beta +\beta ^{2})$$ に代入して導くことができます。 ＜必殺技＞ αとβが１の立方根、 だということに気づけば一瞬で解くことができます。 $$\begin{aligned}x^{3}=1\\ x^{3}-1=0\\ \left( x-1\right) \left( x^{2}+x+1\right) =0\\ x=1,\omega ,\omega ^{2}\end{aligned}$$

つまり問題の解は

となるので

$$\alpha ^{3}+\beta ^{3}=1+1=2$$

これを少しひねって、指数が３の倍数になっても同じ解答になります。

$$\alpha ^{6}+\beta ^{6}=1+1=2$$

指数が3ならなんとか解の公式を使っても導けますが、6や９というように大きな3の倍数になるとちょっと気が遠くなるような計算量ですね。

いかがでしょうか？

実はこの問題とにかく頻出。素直な高校生を悩ませるようです。

気づけば一瞬、気づかなければ…5分？10分？ここで大きな差がつくので是非とも身に着けてくださいね。