logとｎ乗根の極限

問題

$\lim _{n\rightarrow \infty }\log \dfrac {\sqrt [n] {\left( 3n+1\right) \left( 3n+2\right) \ldots \left( 3n+2n\right) }}{n^{2}}$ を求めよ

$\lim _{n\rightarrow \infty }\log \dfrac {\sqrt [n] {\left( 3n+1\right) \left( 3n+2\right) \ldots \left( 3n+2n\right) }}{n^{2}}$

対数関数とｎ乗根！
もうどうやったらいいの？

とりあえず落ち着いて。極限は使われている文字にヒントが隠されているよ

文字？今回はｎだけど…そういえば前の問題はｘだった

しかも前回はｘ→０だったよね。
今回はｎ→∞だよ。何か思い出すかな？

あ！区分求積法！

その通り！今回は分子に2ｎ個の因数が
あることもヒント。ｎ乗根にまとめましょう

$\lim _{n\rightarrow \infty }\log \dfrac {\sqrt [n] {\left( 3n+1\right) \left( 3n+2\right) \ldots \left( 3n+2n\right) }}{n^{2}}$
$\lim _{n\rightarrow \infty }\log \sqrt [n] {\dfrac {\left( 3n+1\right) \left( 3n+2\right) ...\left( 3n+2n\right) }{n^{2n}}}$ $=\lim _{n\rightarrow \infty }\log \sqrt [n] {\dfrac {3n+1}{n}\cdot \dfrac {3n+2}{n}\ldots \dfrac {3n+2n }{n}}$ $=\lim _{n\rightarrow \infty }\log \sqrt [n] {\left( 3+\dfrac {1}{n}\right) \left( 3+\dfrac {2}{n}\right) \ldots \left( 3+\dfrac {2n}{n}\right) }$

ここから和の形にするんだ！

$=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1}{n}\left[ \log \left( 3+\dfrac {1}{n}\right) +\log \left( 3+\dfrac {2}{n}\right) +\ldots +\log ( 3+\dfrac {2n}{n}\right)]$

積分に持ち込めた！

$=\int ^{2}_{0}\log \left( 3+x\right) dx$
$= 5\log 5-3\log 3-2$

logの積分もすぐ出来るか
確認しておきましょう！

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